निश्चित समाकलन intlimits_0^{frac{pi }{2}} {fr | vedclass

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Question

(B) माना $I_n = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$. हम जानते हैं कि $\sin(nx) - \sin((n-2)x) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$. अतः,$\f

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$\frac{\pi }{2}$

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(B) माना $I_n = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$. हम जानते हैं कि $\sin(nx) - \sin((n-2)x) = 2 \cos((n-1)x) \sin x$. अतः,$\frac{\sin(nx)}{\sin x} - \frac{\sin((n-2)x)}{\sin x} = 2 \cos((n-1)x)$. दोनों पक्षों का $0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक समाकलन करने पर: $I_n - I_{n-2} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos((n-1)x) dx = \left[ \frac{2 \sin((n-1)x)}{n-1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$. $n=5$ के लिए: $I_5 - I_3 = \left[ \frac{2 \sin(4x)}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\sin(2\pi) - \sin(0)) = 0$. इस प्रकार,$I_5 = I_3$. इसी प्रकार,$I_3 - I_1 = \left[ \frac{2 \sin(2x)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = [\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0$. इस प्रकार,$I_3 = I_1$. अंत में,$I_1 = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \frac{\pi}{2}$. अतः,$I_5 = I_3 = I_1 = \frac{\pi}{2}$.

निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 5x}}{{\sin x}}\,dx} $ का मान है

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